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[品味数学] 童话——认识一点拓扑空间

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发表于 2014-10-31 13:29:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
童话——认识一点拓扑空间





变形虫的奇遇

有一种很微小微小的单细胞生物名叫阿米巴(ameba),由于它的身体会不断的变化,生物学家给它取名为“变形虫”,这小虫在脏水生长,有时会钻进人的肚子里去,使到人们腹泻,严重时还能令人死亡。有一次,有一个生物学家把一滴脏水放到显微镜底下观察,他看到这滴水的世界真是神奇万千:有含叶绿素的藻,有长着鞭毛迅速游泳的一些鞭毛虫,他还看到两只变形虫。

这生物学家童心大起,拿了一个很小很小的线圈放到玻璃片上把这变形虫围起来。于是从显微镜下,他看到其中一只变形虫左冲右撞,想要从圈子过去,另外一只变形虫却是像在练瑜珈术的老僧在坐定一动也不动。(见图一)

这生物学家的显微镜是有安装最新式的“细菌语言播音机”,因此他能听到这两只变形虫的对话。

“我的老天爷,这是什么墙把我关起来,我要出去,我不愿意在一个狭小的天地里。”那只急躁不安的小变形虫在叫喊。

“碰!碰!碰!”小变形虫把身体往墙上撞(事实这墙在大人的眼中只不过是一个小线圈),它的身体撞痛了,因而扭曲得很厉害。

小变形虫用身体去撞那个如老僧坐定的变形虫,对它喊叫:“喂!我们被关起来了,为什么你还不想出去?你究竟是什么变形虫?难道不知道‘不自由、毋宁死’的道理吗?”

那只不动的变形虫伸伸懒腰,开口说话:“为什么吵吵闹闹,把我从我的数学思考中吵醒?我是阿米巴数学家,我在研究微妙的数学真理,你不该来吵我──当我在研究世界上最艰深最美妙的学问时。”

小变形虫说:“我们已经失去自由了,你还在研究那什么都看不见的数学,你快想个妥善的方法,使我们能脱离困境。”

阿米巴数学家说:“你别急躁!我对你讲一个故事。”它一面慢慢地把它的身体一部份拉长变成手指,然后在沉积一些薄薄的污泥的玻璃面上划了一条线。

“你看:这一条线是可以互相向左右两端无限延长,这上面生活了两个小点,它们只能在这线上自由跑动,向左移动或者向右移动,我现在把它们活动的空间切断。你看!这是用划两条线把这线截下来,让我们听听这两个小点的对话吧!”

只见一个小圆点正在焦急不安地不断撞那墙。(事实上,在变形虫的眼中,那只不过是一截小线段。)它把头撞得肿痛,于是倒转回来,撞那个好像“天塌下来,什么事也和我无关”的小圆点。

“你怎么撞我呢?”懒得动一动的小圆点责怪那位不安心的小圆点。“我正在研究数学,你把我从那美妙的世界带回现实世界,破坏了我的玄想,实在岂有此理!”

“唉呀呀!我们被关闭起来了!现在我把你唤醒,希望我们可以想一个方法跑出牢笼,你怎么能随便怪我呢?”

小圆点数学家被那个紧张兮兮的小圆点推到墙面前,要他研究出去的方法,小圆点数学家沉思片刻回答:“有什么难呢?我们是生活在一维空间里 (1 dimension),实际上还有一个叫二维空间的世界,只要你跑进二维空间的世界,你的自由度(degree of freedom)就增加,你可以绕过障碍回到我们原来的世界。”

小变形虫呱呱喊叫说:“这有什么了不起的大道理!非常明显。小圆点真笨,还要小圆点数学家解释才明白。”(见图二)

变形虫数学家严肃地说:“不要讥笑比你差的人!嘲笑人家的人,总有被人嘲笑的时候。我们是二维空间的生物,还有一个三维世界。我们的世界,只有东南西北的方向,在那个世界有一种叫‘上、下’的区分,就像小圆点的世界只有‘左、右’的方向,而没有我们的‘东南西北’,因此你只要进入三维世界,把身体向上伸,你就可以越过障碍,回到你的世界去。”(见图三)

以上的故事是我编出来回答一位学生物的朋友的问题。他问我为什么有一些数学家在遭受打击或关在牢笼时(这是他看过我的书有关被迫害的数学家的事提出的问题)还能做研究?

我的故事是对数学家的开玩笑,也包括对我自己的自嘲。但是里面却有一些哲理,读者只要把它当作禅宗里的老和尚的偈语看待,去渗透渗透,总会悟到一些道理。“天机不可泄漏”,我不想多说。

小王子和伤脑筋的国王

法国有一本著名的儿童故事书叫 《小王子》(Le petit prince,上海书局有中译本出版),这里面有一个天真无邪的小孩子名叫“小王子”,在许多国家的儿童都知道他的故事。可惜作者创造这故事之后,却因喜欢驾飞机而失事,从此没有新的“小王子”的故事出现。

有一次,我生病孤寂地躺在床上,我听到一个微弱的声音:“对不起!对不起!让我自由。”(S'il vous plalt! sil vous plait! Liberez moi!)

我循着声音传来的方向找去,在书架上看到有一个像小蜻蜓的小东西,正在挣扎地要从一本书里爬出来。“唉呀!你不是小王子吗?!”我惊异地喊起来。

我连忙把书从书架抽出打开书本,小王子就从书上跳到我的手上。“这样是比较的舒服。”小王子对我说。

我躺回床上,把小王子放在我的被上,我问他:“告诉我小王子!你以后还有什么奇异的经历?请你告诉我,我很想知道一下。我很高兴你能来找我。”

“唉!我走了很多星球,看了各种各样的生物,我可以告诉你一些。”下面是他讲的一个故事:

“有一天,我来到一个星球,这星球只有一个国王。”

“这国王有一个美丽的王后,她正在怀孕。国王说:‘如果我们有一个王子,这王子就继承我的星球。如果生下二个王子,我就把星球分成南半球和北半球,由他们分管。’王后问:‘万一我生下是三个王子,你怎么分给他们呢?’国王说:‘很容易。我只要站在北极上,往南极划三条线,这星球的土地就被分成三块,他们能互相来往而不需要通过第三者的国土。’王后再问:‘如果我是生下四个王子,你能不能再把领土分配,使他们兄弟能直接来往,而不必通过第三者的国土呢?’国王说:‘很容易,你看我这样分配国土。’国王一面说一面在桌上划了一个圆,然后就在圆形上划弧(见图四)。‘我只要把老大,老二、老三、老四照图上的安排法,他们就能互相往来,不必经过第三者的国土了。’”

“我去到那里的时候,王后却是一生就生下五个小王子,全国人民都很高兴,国王也是高兴。国王在给这些孩子取名之后,就想早一点安排他们以后应有的领地,可是他在书房里不断的安排却一直安排不出,他召了几个大臣及最有智慧的老人来商量,也没有人能安排使每个孩子的领地都能和其他的兄弟接壤,这样他们可以直接来往,不经过其他人的领土。”

“我看国王画的图,真是多种多样,的确是没有一个能符合要求,我带回了几个国王和大臣们设计的图。(见图五)”

我现在拿了这些图来告诉您,您能不能帮忙国王呢

我把小王子给我看的图来一个变化。(见图六)

我把领土用一个包含数字的小圆圈表示,如果两个领地有接壤,我就用一条弧线连结代表这领土的小圆圈,结果我得到了图六,的确这些图都反映国王的愿望不能达到,图六的(a)只有老五能和所有的哥哥的领地连通,其他的兄弟却少了一个连通。(b),(c)都是。

“为什么(c)有两个图呢?”小王子询问。

“哦!这两个图是一样,只不过是左边的图有老三和老四的连线会和老二及老五的连线相交,我在右边把老五的位置稍微改变,这样我画的图就没有连线相交的现象。”

啊!我突然想起了国王的问题是应该可以解决的。我在第一集的《数学和数学家的故事》里,就介绍过一个波兰数学家在50年前发现一个判别图是否能画在平面上而没有连线相交的方法。

“小王子!请你把我带去见国王,我已经知道这个问题的答案了。”

“是吗?这样好,您现在闭上眼睛不动,我就把您带上那个国王的星球去。”

只有一个国王的星球

小王子握住我的手,在我的头上摸一下,我整个身体就缩小了,最后我的身子只是像他的小姆指那样,他就把我放在他的上衣口袋,于是我们从窗口飞出直上云霄。

我实在好奇,想要知道外面是什么样子?我把头从口袋中伸出,只见到处都是美丽的星,那银河像是由钻石缀满的项链,高挂在天幕上。

我们来到一个小星球,那上面到处有美丽的公园,公园有许多国王和王后的雕塑像。我们进入皇宫,小王子把我介绍给国王。

我对国王说:“至高尊贵的国王,在我所生活的地球上有一个著名的戏剧家,他的名叫莎士比亚。他曾经这么说:‘我可以局限在一个小房子里,而认为自己是无穷空间的国王’。”(I could be bounded in a nutshell and count myself a king of infinite space.)

“每个人由于生活环境的限制,他所看到的和所理解的空间及事物往往不一样,主观看法不一样对同一事物就会有不同的争论。”

“我的祖先最初视界不大,以为他们生活的地球表面是平的。有一天,有一个人要到南方的地方,他的马车却往北跑,人们笑他是:‘南辕北辙’一定不会到达目的地,其实很可能这个人早知道地球是圆的,只要往北走是可以走到他所要到的南方的地方。”

“是的,我们这里以前的人也是以为我们的星球是平面。”国王对我说。

“这是不奇怪的事。我现在剪下三个很薄的纸(见图七),我把它们的边缘黏起来。你可以看到我得到三个不同的曲面。

您知道第一个曲面是像一个椭圆球,第二个曲面是圆柱,第三个是一个环面。我们现在看它们是可以看出它们是不一样的。假定我们是生活在这些曲面上,而且我们的身体不断的缩小,小到平贴在表面上。这时我们在这表面上举目四望,我们觉得我们是生活在一个平面上,而不知道它是椭球面,圆柱形面,还是环面。”

“我是同意你的讲法,因为当我们变成渺小的生物,我们的眼界只能看很小的一个范围,我们不知道我们生活的空间真正是什么样子。可是这和我的问题有什么关系呢?”

“国王陛下,在不同的条件下,一些事物就可能有不同的发展和结果。好像说,在我的古老的国家有一个传说是一个老人要把挡在他家门前的一座大山移走,他带领着全家老少每天去挖山,他认为一天挖一些,山不会增高,就算他在世时见不到山被移走,他的子子孙孙万代不竭地去挖这山总会被挖走。

“可是如果我现在不是叫老人去移山,而是叫他移一条弧线,摆在他面前的是下面这样的一个圆(图八):

连结顶点2和顶点6的弧是会和连结顶点3,8及顶点4,7的弧相交。想像这些弧都是橡皮圈做成,我是否能把弧2和6适当移动,使到它保留在表面上又不和任何其他的弧相交?

“我可以告诉您,这老人再加上他的万代子孙是不能在平面上解决这问题,因为不管他们怎样移动,都是没法子完成我的要求。”

我说完了就站在一边,让国王和他的臣子们去讨论,他们在那里争论了差不多半个钟头之后,国王最后说:“我相信你的话,我们是没法子解决这样的问题。”

“现在你们经过各种尝试,得到经验,知道这问题是不能解决,可是在环状星球的人民看到这个问题时会哈哈大笑说:‘这是一个很简单的问题,我们三岁的儿童都能解决。’因为他们的生活环境和我们的不一样,对我们来说不能解决的问题,很可能就会变成可以解决的事了。”

“学数,你能不能告诉我他们是怎么解决?我想知道这结果。”

“好!现在你们看我在这两张长方形的白纸上把刚才的图重画一遍。我先画顶点,然后画弧线(图九)。再把长方形的边相对的黏合起来,这样我们的图是变成在环面上了。顶点1和5,及顶点2和6在这两个面上有不同的弧线连接,这些弧在环面上并不互相相交。”

小王子说:“这就是说在平面上生活的人们不能解决的问题在环状面生活的人却是能解决的。”

国王的问题的解决

“是的,你说的很对。我就是要说明一个很简单的道理:任何人处在不同的环境和不同的时间,对一些事物的处理方式

或了解就不一样。对于一些人看来是简易的东西,对另外的人可能就是深奥不可理解。对于一些看来是不能解决的问题,如果我们把我们考虑的立足点换一换,很可能就可以解决了。”

“那么我的王子分配领土的问题是否可以解决吗?”国王焦急地问。

“国王,您的孩子领土的问题是可以这样看,如果把每个王子的领地用标有1,2,3,4,5的小圆圈来表示,如果两个领地有接壤,我就用一个弧线连结起来。先看在平面上是否可能把任何一个顶点和其他顶点用弧相连而不相交?我们的地球上有一位名叫库拉托斯基(Kuratowski)的数学家在50年代后就证明是不可能。不管你怎样画和安排这些图是会和图十(a)一样,它们总是有弧会相交,可是我却可以在环面上安排,使到这些弧不相交,请您看图十(b):

因此你们如果不想在对这问题伤脑筋,做不可能做的事。我提出一个卑微的建议,请你们找一个环状的星球,然后把你们的国土放弃,全部移民到那环状星球上去,这样你们领土分配的问题就可以解决了。”

“等一等!学数先生,你只说这问题在平面上不能解决,或许在圆球面上是可以解决呢?”国王说。

我这时就拿起笔在图十(a)上边画两条像在图最左边的有箭头的弧线。然后拿剪刀沿着弧线剪,最后用浆糊把它黏起来,就像(图十一)所表示那样:

“你看,我得到的是在圆球面上的图,它的顶点的相对位置不变,因此,在圆面上这问题仍然是不能解决。”

“这真是奇妙的事,你能不能再告诉我一些关于曲面的新鲜事呢?”

只有一个面的扭带

看到国王和几个臣子及小王子的兴致这样高,我于是继续讲下去。

“请你们看我手上的长方形纸条,你们知道它有四个边、有两个面:如果我把纸条正对你们,你们可以说一个面是前面,另外一个面是后面;如果平放在桌上,你们可以说一个面是上面,另外一个面是下面。”

“如果我手上拿的是圆球或是一个玉环,你们也可以说是有两个面,一个在里面,一个在外面。因此我们会以为所有的曲面都有两个面,对不对?”

大家都点点头。我把手上的纸条扭了一下,然后把头尾两端黏好,我得了像图(十二)的曲面:

“现在你们可以看到这个曲面只有一个边,你们如果不相信可以用手摸,它不像圆柱曲面是有两个边。还有更巧妙的事是这个曲面只有一个面!”

国王摇摇头:“我看到是两个面。”

“这是你的眼睛在欺骗你,以及你以前固有的看法认为曲面应该是有两个面而使你不容易接受事实。你怎样证明圆柱形的面有两个呢?你会说很容易,我可以在一面上涂上红色,另外一面上涂上蓝色的色彩,这样就很明显的看出两个面来。好!现在请你用红色彩笔把我这个扭带涂彩一下,你会看到不同的结果。”

国王涂彩之后说:“唉呀!果然是只有一个面,我现在得到一个全红的扭带!”

我拿了我原先做好的圆柱纸圈,沿着中间平行两个边的大圆剪去,我得了两个圆柱。

“你们能不能猜想:当我用剪刀把这个只有一面的扭带,顺着平行一边的纸条的中间剪去,我会得到多少个扭带?”

其他的人都异口同声的说:“两个!”

我把剪刀交给国王去剪扭带,他剪完之后以为可以分成两个扭带,实际上却没有剪开,得到的是一个长条扭带。

国王看了目惊口呆,喃喃自语!“这是怎么一回事?”

我再做了一个扭带,然后对国王说:“如果你现在是沿着边的纸条宽的三分之一的一个平行边剪,你会得到不同的结果。我就让你们去试验和研究,我已经很疲倦了,我想回去我的小房子做我的无穷空间国王的梦。再见了国王和大臣先生们!再见了你们这些可爱天真的人民!”

我于是回到地球上


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